Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，以AB为直径作半圆O切CD于E，连接OE，并延长交AD的延长线于F．
（1）问∠BOE能否为120°，并简要说明理由；
（2）证明△AOF∽△EDF，且；
（3）求DF的长．

Answer

（1）用反证法证明，先设∠BOE=120°，推得与已知BC=1矛盾，则∠BOE≠120°；
（2）连接OD，则Rt△ADO∽Rt△EDO，由相似比推出；
（3）根据勾股定理求得DF的长．
【解析】
（1）∠BOE≠120°．
连接OC，若∠BOE=120°，则OC=1，
于是BC＜1，这与已知BC=1矛盾；

（2）Rt△AOF∽Rt△EDF，
连接OD，则Rt△ADO∽Rt△EDO，∠DOC=90°，
又OE⊥DC，
∴OE2=DE•EC，
∵CE=BC=1，OE=，
∴DE=，
∴==；

（3）在Rt△AOF中，OF2=AO2+AF2，
由AO=，AD=DE=，DF=OF，
得（2DF）2=（）2+（+DF）2，
解得DF=．