Question

如图，已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，O、O₁、O₂分别是△ABC，△ACD、△BCD的角平分线的交点，
求证：（1）O₁O⊥CO₂；（2）OC=O₁O₂．

Answer

（1）由∠A=∠DCB，得∠EAC=∠O2CB，从而得出∠AEC=90°，即O1O⊥CO2；
（2）由于点O1O2分别在∠ACD和∠DCB，的平分线上，再根据（1）得CE=O1E，同理O2F⊥CF，∠OO2E=45°，O2E=EO，∠CEO=∠O2EO1，则△CEO≌△O1EO2，即CO=O1O2．
【解析】
（1）∵∠A=∠DCB，
∴∠EAC=∠O2CB，
∴∠EAC+∠ACE=∠O2CB+∠ACE=90°，
即∠AEC=90°，
∴O1O⊥CO2；

（2）由于点O1O2分别在∠ACD和∠DCB的平分线上，
∴∠O1CO2=45°，由（1）∠O1EC=90°，
∴CE=O1E，
同理可证O2F⊥CF，∠OO2E=45°，O2E=EO，∠CEO=∠O2EO1，
∴△CEO≌△O1EO2，
∴CO=O1O2．