Question

如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D，连接AD并延长与BC相交于点E．
（1）若BC=，CD=1，求⊙O的半径；
（2）取BE的中点F，连接DF，求证：DF是⊙O的切线；
（3）过D点作DG⊥BC于G，DG与OE相交于点M，求证：DM=GM．

Answer

本题从切线BC着手，在直角三角形中得到半径，再从切线的判定出发，
（1）【解析】
∵BC是⊙O的切线，
∴AB⊥BC
∴BC2+OB2=OC2
由题意得

即r=1．

（2）证明：连接OF，可得OF为△ABE的中位线，
∴OF∥AE，
∴∠BOF=∠A，∠COF=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠BOD=∠A+∠ADO=2∠A，
∴∠BOF=∠COF，
∵OD=OB，OF=OF．
∴△OBF≌△ODF，
∴∠ODF=∠OBF=90°，
即FD是⊙O的切线．

（3）证明：∵DG∥AB
∴，AO=BO
∴DM=GM．