Question

如图，△ABC的三边满足关系BC=（AB+AC），O、I分别为△ABC的外心、内心，∠BAC的外角平分线交⊙O于E，AI的延长线交⊙O于D，DE交BC于H，
求证：（1）AI=BD；
（2）OI=AE．

Answer

（1）作IG⊥AB于G点，连BI，BD，则AG=（AB+AC-BC），而BC=（AB+AC），可得到AG=BC，根据题意得∠EAD=90°，得到ED为⊙O的直径，ED垂直平分BC，因此AG=BH，从而得到Rt△AGI≌Rt△BHD，即有AI=BD；
（2）由∠BID=∠BAI+∠ABI，而∠BAI=∠DBC，∠ABI=∠CBI，即可得到∠DBI=∠BID，则ID=DB，得到AI=ID，由此得到OI为三角形AED的中位线，利用中位线的性质即可得到结论．
证明：（1）作IG⊥AB于G点，连BI，BD，如图，
∴AG=（AB+AC-BC），
而BC=（AB+AC），
∴AG=BC，
又∵AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外角，
∴∠EAD=90°，
∴O点在DE上，即ED为⊙O的直径，
而BD弧=DC弧，
∴ED垂直平分BC，即BH=BC，
∴AG=BH，
而∠BAD=∠DAC=∠DBC，
∴Rt△AGI≌Rt△BHD，
∴AI=BD；

（2）∵∠BID=∠BAI+∠ABI，
而∠BAI=∠DBC，∠ABI=∠CBI，
∴∠DBI=∠BID，
∴ID=DB，
而AI=BD，
∴AI=ID，
∴OI为三角形AED的中位线，
∴OI=AE．