Question

点P在锐角△ABC的边上运动，试确定点P的位置，使PA+PB+PC最小，并证明你的结论．

Answer

作出△ABC最短边上的高，根据图形特点得PA+PB+PC=PA+BC，QA+QB+QC=QA+BC，从而推出PA＜QA，BP'＞AP，
到构造矩形B'BoP'Po，得到B'B＞BBo，通过计算可得P'A+P'B+P'C＜PA+PB+PC．

【解析】
当点P在锐角△ABC最短边上的高的垂足的位置时，
PA+PB+PC最小．
证明：如图，P为△ABC一边BC边，
上的高的垂足，而Q为BC边上的任一点，
∵PA+PB+PC=PA+BC，QA+QB+QC=QA+BC，PA＜QA，
∴PA+PB+PC＜QA+QB+QC
又设AC为△ABC最短边，作这边上的高BP′（如图），
可知BP'＞AP．
在BP′上截取BoP′=AP，在BC上截取B′C=AC，
作B′Po⊥AC．垂足为Po，
连接B′Bo．
∵Rt△APC≌Rt△B'PoC，
∴AP=B'Po=BoP'．
∵四边形B'BoP'Po是矩形，
∴∠B'BoB=90°，
在△B'BoB中，B'B＞BBo，
∵P'A+P'B+P'C=BBo+AP+AC，PA+PB+PC=BP'+AC+AP，
∴P'A+P'B+P'C＜PA+PB+PC．