Question

如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF．求证：．

Answer

先连接DE、DF，利用直径所对的圆周角等于90°，可证D、E、F三点共线，再连接AE、AF，利用等腰三角形的性质、圆内接四边形外角的性质可得∠AEF=∠ABC=∠ACB=∠AFD，易证△ABC∽△AEF，再做AH⊥DF，易证四边形APDH是矩形，于是AH=DP，而△ABC∽△AEF，那么EF：BC=AH：AP，等量代换易证
tan∠PAD=．
证明：如图，连接ED，FD．
∵BE和CF都是直径，
∴ED⊥BC，FD⊥BC，
∴D，E，F三点共线，
连接AE，AF，则∠AEF=∠ABC=∠ACB=∠AFD，
∴△ABC∽△AEF，
作AH⊥EF，垂足为H，
又∵AP⊥BC，DF⊥BC，
∴四边形APDH是矩形，
∴AH=PD，
∵△ABC∽△AEF，
∴，
∴，
∴．