Question

从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？

Answer

首先得出能被33整除的数的特征，然后a1＜a2＜an是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，可以得出所取的数中任意两数之差都是33的倍数，然后根据数的性质可以得到a1及dn的范围，继而可得出n的最大值．
【解析】
首先，如下61个数：11，11+33，11+2×33，11+60×33（即1991）满足题设条件，
另一方面，设a1＜a2＜an是从1，2，2010中取出的满足题设条件的数，
对于这n个数中的任意4个数ai，aj，ak，am，因为33|（ai+ak+am），33|（aj+ak+am），
所以33|（aj-ai），
∴所取的数中任意两数之差都是33的倍数，
设ai=a1+33di，i=1，2，3，n，
由33|（a1+a2+a3），得33|（3a1+33d2+33d3），
所以33|3a1，11|a1，即a1≥11，≤，
故dn≤60，所以n≤61，
综上所述，n的最大值为61．