Question

给出四个命题：①整系数方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根只能是无理数；④若a、b、c均为奇数，则方程ax²+bx+c=0没有有理数根，其中真命题是    ．

Answer

运用一元二次方程求根公式，以及根的判别式与完全平方数可知，①②③正确，利用数据的奇偶性得出方程根的情况．
【解析】
①整系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；
∵方程的根为x=，只有△为一个完全平方数，x才是有理数，所以方程必有有理根．故：①正确；
②整系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；
∵方程的根为x=，方程若有有理根，只有△能够开完全平方，方程有有理数根．
故：②正确；
③无理数系数方程： x-2x+=0的解是x=1，是有理数故：③错误．
④证明：
设方程有一个有理数根（m，n是互质的整数）．
那么a（）2+b（）+c=0，即an2+bmn+cm2=0．
把m，n按奇数、偶数分类讨论，
∵m，n互质，∴不可能同为偶数．
①当m，n同为奇数时，则an2+bmn+cm62是奇数+奇数+奇数=奇数≠0；
②当m为奇数，n为偶数时，an2+bmn+cm2是偶数+偶数+奇数=奇数≠0；
③当m为偶数，n为奇数时，an2+bmn+cm2是奇数+偶数+偶数=奇数≠0．
综上所述 不论m，n取什么整数，等式a（）2+b（）+c=0都不成立．
即假设方程有一个有理数根是不成立的．
∴当a，b，c都是奇数时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有有理数根
故：④正确
故填：①②④．