Question

当m为整数时，关于x的方程（2m-1）x²-（2m+1）x+1=0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．

Answer

先计算出△并且设△=（2m+1）2-4（2m-1）=4m2-4m+5=（2m-1）2+4=n2（n为整数），整系数方程有有理根的条件是△为完全平方数．解不定方程，讨论m的存在性．变形为（2m-1）2-n2=4，（2m-1-n）（2m-1+n）=-4，利用m，n都为整数进行讨论即可．
【解析】
当m为整数时，关于x的方程（2m-1）x2-（2m+1）x+1=0没有有理根．理由如下：
①当m为整数时，假设关于x的方程（2m-1）x2-（2m+1）x+1=0有有理根，则要△=b2-4ac为完全平方数，而△=（2m+1）2-4（2m-1）=4m2-4m+5=（2m-1）2+4，
设△=n2（n为整数），即（2m-1）2+4=n2（n为整数），所以有（2m-1-n）（2m-1+n）=-4，
∵2m-1与n的奇偶性相同，并且m、n都是整数，所以或，
解得m=或m=-（都不合题意舍去）．
②2m-1=0时，m=（不合题意舍去）．
所以当m为整数时，关于x的方程（2m-1）x2-（2m+1）x+1=0没有有理根．