Question

已知，AC和BD为⊙O的两条弦，并且AB²+CD²=4R²，其中R为⊙O的半径．求证：AC⊥BD．

Answer

作直径AE，连BE，CE，得到∠ABE=90°，根据勾股定理得AB2+BE2=AE2=4R2，而AB2+CD2=4R2，得到BE=CD，弧BE=弧CD，得到
BD∥EC，而∠ECA=90°，即可得到结论．
证明：作直径AE，连BE，CE，如图，
∴∠ABE=90°，
∴AB2+BE2=AE2=4R2，
又∵AB2+CD2=4R2，
∴BE=CD，
∴弧BE=弧CD，
∴BD∥EC，
而∠ECA=90°，
∴AC⊥BD．