Question

如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，AD是直径，过点D作⊙O的切线交AC的延长线于E，如果CE=，AB=2，则BC=    ．

Answer

连DC，过A点作AF⊥BC，由∠B=60°，得∠ADC=60°，再由AD为直径，DE为⊙O的切线，可得∠ADE=90°，∠DCE=90°，∠DAE=30°，
由CE=，利用含30度的直角三角形的三边的关系即可求得DC=EC=×=，AD=2，AC=×=，而AB=2，由此可得到△OAB为等要直角三角形，则∠AOB=90°，∠ACB=45°；在Rt△ACF中，AC=CF，所以CF=×=，在Rt△ABF中，AB=2BF，所以BF=×2=1，于是得到BC的长．
【解析】
连DC，OB，过A点作AF⊥BC，如图，
∵∠B=60°，
∴∠ADC=60°，
又∵DE为⊙O的切线，
∴∠ADE=90°，
而AD为直径，
∴∠DCE=90°，则∠DAE=30°，
∵CE=，
∴DC=EC=×=，
∴在Rt△ADC中，AD=2，AC=×=，
在△OAB中，OB=OA=，AB=2，所以△OAB为等要直角三角形，
∴∠AOB=90°，
∴∠ACB=45°，
在Rt△ACF中，AC=CF，所以CF=×=，
在Rt△ABF中，AB=2BF，所以BF=×2=1，
所以BC=BF+FC=+1．
故答案为+1．