Question

Rt△ABC在平面直角坐标系中的初始位置如图1所示，∠C=90°，AB=6，AC=3，点A在x轴上由原点O开始向右滑动，同时点B在y轴上也随之向点O滑动，如图2所示；当点B滑动至点O重合时，运动结束．在上述运动过程中，⊙G始终以AB为直径．

（1）试判断在运动过程中，原点O与⊙G的位置关系，并说明理由；
（2）设点C坐标为（x，y），试求出y与x的关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）根据对问题（1）、（2）的探究，请你求出整个过程中点C运动的路径的长．

Answer

（1）因为OG始终是⊙G的半径，所以原点O始终在⊙G上；
（2）运动过程中，弧AC的长保持不变，弧AC所对应的圆周角∠AOC保持不变，等于∠XOC，∠xOC=30°，y=．即自变量x的取值范围是 ≤x≤3 ；
（3）利用勾股定理可求得，点C运动的路程s=3 ．
【解析】
（1）原点O与⊙G的位置关系是：点O在⊙G上；
如图3，连接OG，∵∠AOB是直角，G为AB中点，
∴GO=AB=半径，故原点O始终在⊙G上．

（2）∵∠ACB=90°，AB=6，AC=3，∴∠ABC=30°．
连接OC，过点C作CD⊥x轴于点D，如图4，
∴∠AOC=∠ABC=30°，
在Rt△ODC中，tan∠COD=，即tan30°=，
∴y与x的关系式是：．
自变量x的取值范围是．

（3）∵由（2）中的结论可知，点C在与x轴夹角为30°的射线上运动．
∴如图5，点C的运动路径为：C1C2=OC2-OC1=6-3=3；
如图6，点C的运动路径为：C2C3=OC2-OC3=6-3；
∴总路径为：C1C2+C2C3=．