Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于A、B，点B的坐标为（10，0），顶点M的坐标为（4，8），点P从点M出发，以每秒1个单位的速度沿线段MA向A点运动；点Q从点A出发，以每秒2个单位的速度沿AB向B点运动，若P、Q同时出发，当其中的一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒钟．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设△APQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，△APQ的面积是否有最大值？若有，请求出其最大值；若没有，请说明理由；
（3）当t为何值时，△APQ为等腰三角形？

Answer

（1）设抛物线的解析式为y=a（x-4）2+8，把B（10，0）代入得，求得a的值，即得到抛物线的解析式；
（2）先根据抛物线的对称性得到A的坐标为（-2，0），过M作MC⊥x轴于点C，过P作⊥x轴于点H，则AC=6，MC=8，AM=10，
利用△PAH∽△MAC，得到，所以（0≤t≤6），利用二次函数的最大值问题即可得到当t=5时，s有最大值为20．
（3）分类讨论：当AP=AQ时，t=；当AP=PQ时，；当AQ=PQ时，．
【解析】
（1）设抛物线的解析式为y=a（x-4）2+8，把B（10，0）代入得，
36a+8=0，解得a=，
∴抛物线的解析式为；

（2）由抛物线的对称性可知点A的坐标为（-2，0），过M作MC⊥x轴于点C，过P作⊥x轴于点H，则AC=6，MC=8，AM=10，
∵△PAH∽△MAC得，，，解得，
∴（0≤t≤6），
∵＜0，
∴s有最大值，当t=-=5时，s有最大值为20；

（3）由（2）得AP=10-t，PH=8-t，AQ=2t，
由△PAH∽△MAC得AH：AC=AP：AM，即AH：6=（10-t）：10，AH=（10-t），
∴QH=2t-AH=t-6，PQ=，
当AP=AQ时，t=；
当AP=PQ时，；
当AQ=PQ时，．