Question

已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆（如图所示），已知两个月牙形（带斜线的阴影图形）的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ）

A．6
B．7
C．8
D．9

Answer

如图，AC=4，S1+S2=10，设BC=a，利用圆的面积公式得到S1+S2+S3+S4=π×22+π×a2=2π+a2，于是有S3+S4=2π+a2-10①，再用以AB为直径的半圆减去三角形ABC的面积得到S3+S4，即S3+S4=π×-×4a=a2+2π-2a②，有①-②得到a的方程，求出a，然后代入①即可得到两个弓形（带点的阴影图形）面积之和．
【解析】
如图，
AC=4，S1+S2=10，设BC=a，
∴S1+S2+S3+S4=π×22+π×a2=2π+a2，
∴S3+S4=2π+a2-10①，
又∵AB2=42+a2=16+a2，
∴S3+S4=π×-×4a=a2+2π-2a②，
①-②得，2π+a2-10=a2+2π-2a，解得a=5，
∴S3+S4=2π+a2-10=2π+×25-10≈6.1，
即最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是6．
故选A．