Question

以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC²=AC•BC，则∠CAB=    ．

Answer

根据直径所对的圆周角是直角求得∠ACB=90°；又有三角形的面积公式：面积=底×高、面积=absinC，及已知条件OC2=AC•BC，求得sin∠AOC=；分类讨论：当∠AOC=30°时，∠COB=180°-30°=150°；当∠AOC=150°时，∠COB=180°-150°=30°；由同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得∠CAB=∠COB．
【解析】
∵AB为直径，C是半圆周上的点，
∴∠ACB=90°，0A=OB=OC，
∴S△ABC=AC•BC，
S△AOC=S△ABC；
又∵OC2=AC•BC，
∴OC2=2•OC2sin∠AOC，
∴sin∠AOC=；
当∠AOC=30°时，∠COB=180°-30°=150°
∠CAB=∠COB=75°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）；
当∠AOC=150°时，∠COB=180°-150°=30°
∠CAB=∠COB=15°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）．
故答案为：75°或15°．