Question

如图所示，已知抛物线y=x²-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．过点A作AP∥CB交抛物线于点P，点M在x轴上方的抛物线上，过M作MG⊥x轴于点G，以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似．则点M的坐标为    ．

Answer

根据抛物线的解析式，易求得A（-1，0），B（1，0），C（0，-1）；则△ACB是等腰Rt△，由于AP∥BC，可知∠PAC=90°；根据B、C的坐标，用待定系数法可求出直线BC的解析式，而AP∥BC，则直线AP与BC的斜率相同，再加上A点的坐标，即可求出直线AP的解析式，联立直线AP和抛物线的解析式，可求出P点的坐标，即可得出AP、AC的长．
在Rt△APC和Rt△AMG中，已知了∠PAC=∠AGM=90°，若两三角形相似，则直角边对应成比例，据此可求出M点的坐标．
【解析】
易知：A（-1，0），B（1，0），C（0，-1）；
则OA=OB=OC=1，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，AC=；
又∵AP∥BC，
∴∠PAC=90°；
易知直线BC的解析式为y=x-1，
由于直线AP∥BC，可设直线AP的解析式为y=x+b，由于直线AP过点A（-1，0）；
则直线AP的解析式为：y=x+1，
联立抛物线的解析式：，
解得，；
故P（2，3）；
∴AP==3；
Rt△PAC和Rt△AMG中，∠AGM=∠PAC=90°，且PA：AC=3：=3：1；
若以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似，则AG：MG=1：3或3：1；
设M点坐标为（m，m2-1），（m＜-1或m＞1）
则有：MG=m2-1，AG=|m+1|；
①当AM：MG=1：3时，m2-1=3|m+1|，m2-1=±（3m+3）；
当m2-1=3m+3时，m2-3m-4=0，解得m=1（舍去），m=4；
当m2-1=-3m-3时，m2+3m+2=0，解得m=-1（舍去），m=-2；
∴M1（4，15），M2（-2，3）；
②当AM：MG=3：1时，3（m2-1）=|m+1|，3m2-3=±（m+1）；
当3m2-3=m+1时，3m2-m-4=0，解得m=-1（舍去），m=；
当3m2-3=-m-1时，3m2+m-2=0，解得m=-1（舍去），m=（舍去）；
∴M3（，）．
故符合条件的M点坐标为：（4，15），（-2，3），（，）．