Question

已知圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AB＞CD，若CD=4，则AB的弦心距是    ．

Answer

设AC和BD的交点是O．过点O作GH⊥CD于G，交AB于H．根据等角的余角相等以及圆周角定理可以证明点H是AB的中点．再过点O作MN⊥AB于M，交CD于点N．同样可以证明N是CD的中点．设该圆的圆心是O′，连接O′N、O′H．根据垂径定理的推论，得O′N⊥CD，O′H⊥AB．则O′N∥GH，O′H∥MN，则四边形O′NOH是平行四边形，则O′H=ON=CD=2．
【解析】
如图，设AC与BD的交点为O，过点O作GH⊥CD于G，交AB于H；作MN⊥AB于M，交CD于点N．
在Rt△COD中，∠COD=90°，OG⊥CD；
∴∠DOG=∠DCO；
∵∠GOD=∠BOH，∠DCO=∠ABO，
∴∠ABO=∠BOH，即BH=OH，同理可证，AH=OH；
即H是Rt△AOB斜边AB上的中点．
同理可证得，M是Rt△COD斜边CD上的中点．
设圆心为O′，连接O′M，O′H；则O′M⊥CD，O′H⊥AB；
∵MN⊥AB，GH⊥CD；
∴O′H∥MN，OM∥GH；即四边形O′HOM是平行四边形；
因此OM=O′H．由于OM是Rt△OCD斜边CD上的中线，所以OM=O′H=CD=2．
故答案是：2．