Question

已知a，b是整数，x²-ax+3-b=0有两个不相等的实数根，x²+（6-a）x+7-b=0有两个相等的实数根，x²+（4-a）x+5-b=0没有实数根，求a，b的值．

Answer

由x2-ax+3-b=O有两个不相等的实数根，则△1=a2-4（3-b）=a2+4b-12＞0，即a2+4b＞12①；由x2+（6-a）x+7-b=O有两个相等的实数根，则△2=（6-a）2-4（7-b）=a2+4b-12a+8=0，即a2+4b=12a-8②；由x2+（4-a）x+5-b=0没有实数根，则△3=（4-a）2-4（5-b）=a2+4b-8a-4＜0，即a2+4b＜8a+4③；由②变形得a2+4b=12a+8，然后把a2+4b=12a+8分别代入①③可得到a的取值范围，加上a为整数，就可求出a，再代入②可得到b．
【解析】
根据题意得，△1=a2-4（3-b）=a2+4b-12＞0，即a2+4b＞12①；
△2=（6-a）2-4（7-b）=a2+4b-12a+8=0，即a2+4b=12a-8②；
△3=（4-a）2-4（5-b）=a2+4b-8a-4＜0，即a2+4b＜8a+4③；
把②分别代入①③得，12a-8＞12且12a-8＜8a+4，解不等式组得；＜x＜3，而a为整数，
所以a=2，再代入②得，4+4b=12×2-8，解得b=3，
∴a=2，b=3．