Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，直线CD与AB的延长线交于点D，∠COB=2∠DCB．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）点E是的中点，CE交AB于点F，若AB=4，求EF•EC的值．

Answer

（1）要证CD是⊙O的切线，得证OC⊥CD，即证∠OCD=90°，由已知OA=OC，得∠OCA=∠OAC，∠COB=∠OCA+∠OAC=2∠OCA（三角形外角性质），又已知，∠COB=2∠DCB．所以∠OCA=∠DCB，AB是⊙O的直径，∠ACB=90°，通过等量代换得∠OCD=90°，即OC⊥CD．
（2）连接BE、AE，由已知点E是的中点，得AE=BE，∠BCE=∠EBF（相等弧所对的圆周角相等），又∠BEC=∠BEC，所以得到△BCE∽△FBE，即得：=⇒EF•EC=BE2，由AB是⊙O的直径，点E是的中点，得等腰直角三角形，根据勾股定理可求出BE，从而求得EF•EC的值．
【解析】
（1）证明：∵∠COB=∠A+∠OCA（三角形外角定理），
OA=OC，∴∠A=∠OCA，
∴∠COB=2∠OCA（等量代换），
又已知，∠COB=2∠DCB，
∴∠OCA=∠DCB，
又AB是⊙O的直径，
∴∠OCA+∠BCO=90°，
∴∠DCB+∠BCO=90°（等量代换），
即∠DCO=90°，
∴CD⊥OC，
∴CD是⊙O的切线．

（2）连接AE、BE，

∵AB是⊙O的直径，点E是的中点（已知），
∴∠AEB=90°，AE=BE，
∴AE2+BE2=AB2（勾股定理），
∴2BE2=42，
∴BE2=8，
∵点E是的中点，
∴=，
∴∠EBF=∠ECB（相等弧所对的圆周角相等），
∠FEB=∠BEC，
∴△BEF∽△CEB，
∴=，
∴EF•EC=BE2=8．