Question

平移抛物线F₁，使其经过F₁的顶点A，得到抛物线F₂，设F₂的对称轴分别交F_l、F₂于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点．
（1）如图1，若F₁：y=x²，平移后得到F₂，使得四边形ABCD为正方形，求F₂的解析式；
（2）如图2，将（1）中“y=x²”改为“y=ax²+bx+c”，其余条件不变，求正方形ABCD的面积（用含有a的代数式表示）；
（3）如图3，将（1）中“y=x²”改为“y=x²-x+”，“正方形ABCD”改为“AC=2，且点P是直线AC上的动点”，求点P到真线AD的距离与到点D的距离之和的最小值．

Answer

（1）由F1：y=x2，平移后得到F2，使得四边形ABCD为正方形，可以得出F2的顶点坐标为（a，-a），D点的坐标为（b，b），进而求出已知坐标，即可得出a，b的值，进而求出F2的解析式；
（2）设F1顶点坐标为A（m，n），平移距离为t，则C点坐标：C（m+2t，n），求出平移之后的解析式，进而得出t的值，从而求出正方形面积；
（3）要分情况讨论点C在点A的左边还是右边，作PH⊥AD交AD于点H，则PD+PH=PB+PH，是PB+PH值最小可求出h的最小值．
【解析】
（1）由F1：y=x2，平移后得到F2，使得四边形ABCD为正方形，可以得出F2的顶点坐标为（a，-a），D点的坐标为（b，b），
b=b2，
解得：b=0或3，0不合题意舍去，
故：D（3，3），F2的顶点坐标为（a，-a），代入y=（x-a） 2-a，
解得：F2的顶点坐标为（3，-3），
∴y=（x-3）2-3，

（2）∵设F1顶点坐标为A（m，n），平移距离为t，则C点坐标：C（m+2t，n）．
平移之后的解析式：F1顶点A坐标为A（m，n），
所以F1可以表示为y=a（x-m）2+n，
则平移之后的解析式为y=a（x-m-t）2+n-t ①
将C点坐标代入①式，得到n=at2+n-t，
即at2-t=0，所以t=
∴正方形面积=2t2=；

（3）当点C在点A的右侧时（如图1），
设AC与BD交于点N，
抛物线y=x2-x+，配方得y=（x-1）2+2，
其顶点坐标是A（1，2），
∵AC=2，
∴点C的坐标为（1+2，2）．
∵F2过点A，
∴F2解析式为y=（x-1-）2+1，
∴B（1+，1），
∴D（1+，3）
∴NB=ND=1，
∵点A与点C关于直线BD对称，
∴AC⊥DB，且AN=NC
∴四边形ABCD是菱形．
∴PD=PB．
作PH⊥AD交AD于点H，则PD+PH=PB+PH．
要使PD+PH最小，即要使PB+PH最小，
此最小值是点B到AD的距离，即△ABD边AD上的高h．
∵DN=1，AN=，DB⊥AC，
∴∠DAN=30°，
故△ABD是等边三角形．
∴h=AD=
∴最小值为 ．
当点C在点A的左侧时（如图2），同理，最小值为 ．
综上，点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值为 ．