Question

在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与抛物线y=x²+（9m+4）x+m-1交于点A（3，n）．
（1）求n的值及抛物线的解析式；
（2）过点A作直线BC，交x轴于点B，交反比例函数（x＞0）的图象于点C，且AC=2AB，求B、C两点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点P是抛物线对称轴上的一点，且点P到x轴和直线BC的距离相等，求点P的坐标．

Answer

（1）由点A（3，n）在反比例函数的图象上，即可求得n的值，又由点A在抛物线y=x2+（9m+4）x+m-1上，利用待定系数法即可求得；
（2）首先由AD∥CE，证得△ABD∽△CBE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AD的长，则可求得CE的长，易得点C的坐标，即可求得点B的坐标；
（3）首先求得：抛物线的对称轴，证得：△PCF∽△BCE，再分别从当点P在第一象限内时，设P（1，a）（a＞0）与当点P在第四象限内时，设P（1，a）（a＜0）利用相似三角形的对应边成比例求解即可．
【解析】
（1）∵点A（3，n）在反比例函数的图象上，
∴n=，
∴A（3，）．
∵点A（3，）在抛物线y=x2+（9m+4）x+m-1上，
∴=9+（9m+4）×3+m-1，
∴m=-．
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-；

（2）分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，
∴AD∥CE．
∴△ABD∽△CBE．
∴．
∵AC=2AB，
∴．
由题意，得AD=，
∴．
∴CE=4．
即点C的纵坐标为4．
当y=4时，x=1，
∴C（1，4），
∵，DE=2，
∴．
∴BD=1．
∴B（4，0）；

（3）∵抛物线的对称轴是x=1，
∴P在直线CE上．
过点P作PF⊥BC于F．
由题意，得PF=PE．
∵∠PCF=∠BCE，∠CFP=∠CEB=90°，
∴△PCF∽△BCE．
∴．
由题意，得BE=3，BC=5．
①当点P在第一象限内时，设P（1，a）（a＞0）．
则有．解得．
∴点P的坐标为（1，）．
②当点P在第四象限内时，设P（1，a）（a＜0）
则有．解得a=-6．
∴点P的坐标为（1，-6）．
∴点P的坐标为（1，）或（1，-6）．