Question

如图，AB是⊙O的直径，AB=12m，M是劣弧AC的中点，弦AC与BM交于点D，∠ABC=2∠A，
（1）求证：AD=BD；
（2）求AD、DC的长．

Answer

（1）根据圆周角定理知∠C=90°，再根据已知条件∠ABC=2∠A，在直角三角形ABC中求得，∠A=30°，又有等弧所对的圆周角相等知∠ABD=∠CBD=30°，最后根据等边对等角证明AD=BD；
（2）利用（1）的结论，在直角三角形ABC中根据锐角三角函数求得AC=6m；再在直角三角形在直角三角形ABC中，由锐角三角函数求得AC与AD、CD间的数量关系．
【解析】
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°（直径所对的圆周角是直角）；
∵∠ABC=2∠A，∠ABC+∠A=90°，
∴∠ABC=60°，∠A=30°；
∵M是劣弧AC的中点，
∴∠ABD=∠CBD=30°（等弧所对的圆周角相等），
∴AD=BD（等边对等角）；

（2）在直角三角形ABC中，AB=12m，∠A=30°，
∴AC=AB•cos30°，
∴AC=6m；
在直角三角形在直角三角形ABC中，BCD中，∠CBD=30°，
∴BD=2CD，
∵∠A=∠ABD
∴AD=BD，
∴AD=2CD；
∴CD=AC=2m，
AD=AC=4m．