Question

直角三角形ABC中，直角边AB上有一点M，斜边BC上有一点P，已知MP⊥BC，△BMP的面积等于四边形MPCA的面积的一半，BP=2厘米，PC=3厘米，那么直角三角形ABC的面积是    平方厘米．

Answer

由已知条件易知∠BPM=∠BAC=90°，结合∠B时公共角，易证△MBP∽△CBA，而已知△BMP的面积等于四边形MPCA的面积的一半，那么S△MBP：S△CBA=1：3，于是===1：，利用比例计算可求AB、BM，在△BPM中，利用勾股定理可求PM，从而可求PM，于是就可求S△BPM，也就易求S△ABC．
【解析】
∵MP⊥BC，△ABC是直角三角形，
∴∠BPM=∠BAC=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△MBP∽△CBA，
又∵△BMP的面积等于四边形MPCA的面积的一半，
∴S△MBP：S△CBA=1：3，
∴===1：，
∴AB=2，BM=，
∴PM==，
∴S△BPM=BP•PM=，
∴S△ABC=．