Question

如图所示，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、MN、FN，过△FMN三边的中点作△PQW．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：
（1）说明△FMN∽△QWP；
（2）设0≤x≤4．试问x为何值时，△PQW为直角三角形？
（3）试用含的代数式表示MN²，并求当x为何值时，MN²最小？求此时MN²的值．

Answer

（1）由根据题意可知P、W、Q分别是△FMN三边的中点，可得PW是△FMN的中位线，然后即可证明△FMN∽△QWP；
（2）由（1）得，△FMN∽△QWP，当△QWP为直角三角形时，△FMN为直角三角形，根据DM=BN=x，AN=6-x，AM=4-x，利用勾股定理求得FM2=4+x2，MN2=（4-x）2+（6-x）2，FN2=（4-x）2+16，然后分①当MN2=FM2+FN2时，②当FN2=FM2+MN2时，③FM2=MN2+FN2时三种情况讨论即可．
（3）根据①当0≤x≤4，即M从D到A运动时，MN≥AN，AN=6-x，故只有当x=4时，MN的值最小即可求得答案，②当4＜x≤6时，MN2=AM2+AN2=（x-4）2+（6-x）2，解得x即可
【解析】
（1）由题意可知P、W、Q分别是△FMN三边的中点，
∴PW是△FMN的中位线，即PW∥MN，
∴===，
∴△FMN∽△QWP；

（2）由（1）得，△FMN∽△QWP，
∴当△QWP为直角三角形时，△FMN为直角三角形，反之亦然．
由题意可得DM=BN=x，AN=6-x，AM=4-x，
由勾股定理分别得FM2=4+x2，MN2=（4-x）2+（6-x）2，
过点N作NK⊥CD于K，
∴CK=BN=x，
∵CF=CD-DF=6-2=4，
∴FK=4-x，
∴FN2=NK2+FK2=（4-x）2+16，
①当MN2=FM2+FN2时，（4-x）2+（6-x）2=4+x2+（4-x）2+16，
解得，
②当FN2=FM2+MN2时，（4-x）2+16=4+x2+（4-x）2+（6-x）2
此方程无实数根，
③FM2=MN2+FN2时，4+x2=（4-x）2+（6-x）2+（4-x）2+16，
解得x1=10（不合题意，舍去），x2=4，
综上，当或x=4时，△PQW为直角三角形．

（3）①当0≤x≤4，即M从D到A运动时，MN≥AN，AN=6-x，
故只有当x=4时，MN的值最小，MN2的值也最小，此时MN=2，MN2=4，（10分）
②当4＜x≤6时，MN2=AM2+AN2=（x-4）2+（6-x）2，
=2（x-5）2+2，
当x=5时，MN2取得最小值2，
∴当x=5时，MN2的值最小，此时MN2=2．