Question

如图，已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB，DC的延长线交圆O于点E，试探究AE的长是否为定值（不随AB长度的变化而变化）？若为定值，求出这个定值；若不为定值，试确定AE与AB长之间的关系．______．

Answer

根据四点共圆的性质得到四边形的对角互补，然后根据等边三角形的内角的度数进一步得到△EAC与△OAB全等进而确定两对应线段的关系．
【解析】
由A、B、D、E四点共圆，
∴∠EAB+∠EDB=180°，
∵BC=BD，∠BDC=∠BCD，∠BCD+∠ECB=180°，
∴∠ECB=∠EAB
又∵∠CAB=∠ACB=60°
∴∠ECB-∠ACB=∠EAB-∠CAB，
∴∠ECA=∠EAC，
∴△EAC是等腰三角形，
∵AB=BD，
∴∠DEA=∠DOB，
∵AC=AB，
∴△EAC≌△OAB，
∴AE=OA．