Question

求使关于x的二次方程（a+1）x²-（a²+1）x+2a³-6=0有整数根的所有整数a．

Answer

由二次方程（a+1）x2-（a2+1）x+2a3-6=0有整数根的所有整数a，可知-2＜a＜2，把a值代入原方程讨论可得a=0，1时，原方程有整数根．
【解析】
当a=-1时，原方程化为-2x-2-6=0，此时x=-4；
当a≠-1时，判别式△=（a2+1）2-4（a+1）（2a3-6）=-7a4-8a3+2a2+24a+25，
若a≤-2，则△=-a2（7a2+8a-2）+24（a+1）+1＜24（a+1）+1＜0，方程无根；
若a≥2，则△=-8a（a2-3）-a2（7a2-2）+25＜-a2（7a2-2）+25＜0，方程亦无根；
故-2＜a＜2，
又因为a为整数，则a只能取-1，0，1，而a≠-1，则a在0，1中取值：
当a=0时，方程可化为x2-x-6=0，解得x1=3，x2=-2；
当a=1时，方程可化为x2-x-2=0，解得x1=2，x2=-1．
综上所述，关于x的二次方程（a+1）x2-（a2+1）x+2a3-6=0，当a=0，1时，方程有整数根．