Question

以AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆上一点，且OC²=AC•BC，则∠CAB为多少？

Answer

根据直径所对的圆周角是直角，得到直角三角形，然后过点C作AB的垂线，得到两直角三角形相似，利用相似三角形的性质，对应边的比相等，得到直角三角形中边的关系，可以求出∠COD的度数，然后运用三角形的外角的性质可以求出∠CAB的度数．
【解析】
如图1：
过点C作CD⊥AB于D，
∵AB是半⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC∽△CBD，
∴=，得：BC•AC=AB•CD，
又OC2=BC•AC，
∴OC2=AB•CD，
∵AB=2OC，
∴OC=2CD，
∴∠COD=30°，
∴∠CAB=15°．
同理，当如图2所示时，
∠CBA=15°，则∠CAB=90°-15°=75°．
故答案为：15°或75°．