Question

设二次函数y=-x²+（m-2）x+3（m+1）的图象与x轴交于A、B两点（A在B左边），与y轴交于C点，线段AO与OB的长的积等于6（O是坐标原点），连接AC、BC，求sinC的值．

Answer

设二次函数y=-x2+（m-2）x+3（m+1）的图象与x轴的两交点A、B的坐标为（x1，0），（x2，0），那么OA=|x1|，OB=|x2|，根据根与系数的关系可以得到x1+x2=-（m-2），x1x2=-3（m+1），而线段AO与OB的长的积等于6，由此可以求出m，也就求出了抛物线的解析式，然后求出A、B、C三点坐标，最后利用三角函数的定义即可求出sinC的值．
【解析】
∵二次函数y=-x2+（m-2）x+3（m+1）的图象与x轴交于A、B两点（A在B左边），
∴设A、B的坐标为（x1，0），（x2，0），
∴OA=|x1|，OB=|x2|，
∴x1+x2=-（m-2），x1x2=-3（m+1），
而线段AO与OB的长的积等于6，
∴3（m+1）=±6，
∴m=1或-3，
当m=1时，抛物线解析式为y=-x2-x+6，
∴A、B的坐标为（-3，0），（2，0），C（0，6）
∴AC=3，BC=2，AB=5，
如图抛物线过A作AD⊥BC于D，
则S△ABC=CO•BA=AD•BC，
∴AD==，
∴sinC==；
当m=-3时，抛物线解析式为y=-x2-5x-6，
∴A、B的坐标为（-3，0），（-2，0），C（0，-6）
∴AC=3，BC=2，AB=1，
如图抛物线过A作AD⊥BC于D，
则S△ABC=CO•BA=AD•BC，
∴AD==，
∴sinC==；
所以sinC的值为或．