Question

六盒磁带按“规则方式”打包，所谓“规则方式”是指每相邻两盒必须以完全一样的面对接，最后得到的包装形状是一个长方形．已知磁带盒的大小为abc=11×7×2（单位cm）．
（1）请画出示意图，给出一种打包方式，使其表面积最小；
（2）若不给出a、b、c的具体尺寸，只假定a≥b≥c，3问能否按照已知的方式打包，使其表面积最小？并说明理由．

Answer

一盒火柴的图形如图甲所示，则三个面的面积记为A=bc，B=ac，C=ab；考虑到6盒火柴，6=1×6=2×3，因此，规则方式打包有两类：“1×6”和“2×3”．（1）已知磁带盒的大小为abc=11×7×2，分别求出两种方式的表面积，比较大小即可；（2）已知a≥b≥c，可设a=46mm，b=36mm，c=16mm，分别求出两种方式的表面积，比较大小即可．
【解析】
（1）设：三个面的面积记为A=bc，B=ac，C=ab，
①在1×6的方式下，打包方式如图乙，这时，表面积
S乙=2C+12B+12A=2×11×7+12×11×2+12×7×2=586cm2；
②在2×3的方式下，打包方式如图丙，这时，表面积
S丙=4C+6B+12A=4×11×7+6×11×2+12×7×2=708cm2；
因为S乙＜S丙，所以最小表面积的打包方式是1×6．

（2）已知a≥b≥c，假设a=46mm，b=36mm，c=16mm，
同上，把abc的值代入得：
S乙=2C+12B+12A=2×46×36+12×46×16+12×36×16=19056mm2，
S丙=4C+6B+12A=4×46×36+6×46×16+12×36×16=17952mm2
因为S乙＞S丙，所以最小表面积的打包方式是2×3．