Question

甲、乙、丙、丁四人分别按下列的要求作一个解为x₁，x₂的一元二次方程x²+px+q=0．
甲：p，q，x₁，x₂都取被3除余1的整数；
乙：p，q，x₁，x₂都取被3除余2的整数；
丙：p，q取被3除余1的整数，x₁，x₂取被3除余2的整数；
丁：p，q取被3除余2的整数，x₁，x₂取被3除余1的整数；
问：甲、乙、丙、丁是否能按上述要求各自作出方程？若可以作出，请你写出一个这样的方程，若不能作出，请你说明理由．

Answer

结合题意，x1，x2是一元二次方程x2+px+q=0的两根，利用根与系数的关系得出，x1+x2=-p，x1x2=q，结合带余数的除法运算性质分别进行验证即可．
【解析】
∵甲、乙、丙、丁四人分别按下列的要求作一个解为x1，x2的一元二次方程x2+px+q=0．
甲：p，q，x1，x2都取被3除余1的整数；
假设x1=3n+1，x2=3m+1，
∵x1+x2=-p=3n+1+3m+1=3（m+n）+2，
∴3（m+n）+2被除3余2，即-p被除3余2，
∴不能按上述要求作出方程；

乙：p，q，x1，x2都取被3除余2的整数；
假设x1=3n+2，x2=3m+2，
∵x1+x2=-p=3n+2+3m+2=3（m+n）+4=3（m+n+1）+1，
∴3（m+n+1）+1被除3余1，即-p被除3余1，
∴不能按上述要求作出方程，

丙：p，q取被3除余1的整数，x1，x2取被3除余2的整数；
假设x1=3n+2，x2=3m+2，
∵x1+x2=-p=3n+2+3m+2=3（m+n）+4=3（m+n+1）+1，
∴3（m+n+1）+1被除3余1，即-p被除3余1，
∵x1x2=q=（3n+2）（3m+2）=9mn+3n+3m+4=3（3mn+m+n+1）+1，
∴3（3mn+m+n+1）+1被除3余1，即q被除3余1，
∴能按上述要求作出方程，
例如：x2-13x+40=0，等（答案不唯一）

丁：p，q取被3除余2的整数，x1，x2取被3除余1的整数；
假设x1=3n+1，x2=3m+1，
∵x1+x2=-p=3n+1+3m+1=3（m+n）+2，
∴3（m+n）+2被除3余2，即-p被除3余2，
∵x1x2=q=（3n+1）（3m+1）=9mn+3m+3n+1=3（3mn+m+n）+1，
∴3（3mn+m+n+1）+1被除3余1，即q被除3余1，
∴不能按上述要求作出方程．