Question

已知1999个自然数a₁，a₂，…，a₁₉₉₉满足条件：其中任意两数的和能被它们的差整除．现设n=a₁a₂…a₁₉₉₉，证明：n，n+a₁，n+a₂，…，n+a₁₉₉₉这2000个数仍满足上述条件．

Answer

首先通过任意两数的和能被它们的差整除，判定这些自然数的奇偶性，利用奇偶性进一步分析解答即可．
【解析】
因为任意两数的和能被它们的差整除，所以这1999个自然数的奇偶性相同，所以任意两数的和或差为偶数；
由题意知对于1999个自然数a1，a2，…，a1999满足条件：ai-aj|ai+aj（i、j=1、2、3、4…1999且i≠j），
可推出ai-aj只有等于2时，才能任意两数的和能被它们的差整除．
因此对于2000个数n，n+a1，n+a2，…，n+a1999对于任意一个数与n的差为ak（k=1，2，3…1999），显然能整除它们的和；
对于任意一个数与其它数的差为ai-aj=2，其和为（2n+ai+aj），也一定被2整除．
综上所知n，n+a1，n+a2，…，n+a1999这2000个数仍满足条件：其中任意两数的和能被它们的差整除．