Question

如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax²+bx+c的值都是平方数（即整数的平方），
证明：（1）2a，2b，c都是整数；
（2）a，b，c都是整数，并且c是平方数；
（3）反过来，如（2）成立，是否对一切x的整数值，x的二次三项式ax²+bx+c的值都是平方数？

Answer

（1）分别令x=0，x=1，x=-1然后代入二次三项式，可得出2a，2b，c都是整数．
（2）分别令令x=2，x=-2，代入二次三项式，然后利用奇偶性可分别得出结论．
（3）令x=1，a=1，b=1，c=1代入即可作出判断．
证明：（1）∵对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数，
∴令x=0，a•02+b•0+c=c，
c是整数且是平方数，
令x=1，-1时a•12+b•1+c，a•（-1）2+b•（-1）+c是平方数，
∴可设a•12+b•1+c=m12①a•（-1）2+b•（-1）+c=n12
②c=k12（m1n1k1均为整数），
①-②得：2b=m12-n12，
∴2b为整数（整数相减为依然为整数），
由①得：2a=2m12-2b-2c，
∴2a为整数，
∴2a，2b，c都是整数；

（2）（1）中已证c是整数且是平方数，
令x=2，-2时，可设a•22+b•2+c=m22③a•（-2）2+b•（-2）+c=n22④c=k12（m2n2k1均为整数），
③-④得：4b=m22-n22=（m2+n2）（m2-n2）=2（2b），
∵2b为整数，
∴2（2b）为偶数，则m22-n22为偶数，
∴（m2+n2），（m2-n2）同奇同偶，
则可设（m2+n2）=2m，（m2-n2）=2n（m，n均为整数），
∴4b=2m•2n=4mn，
∴b=mn，
∴b为整数；

（3）令x=1，a=1，b=1，c=1，则ax2+bx+c=3，而3不是平方数．
∴不一定成立．