Question

如图，已知∠xoy=90°，线段AB=10，若点A在oy上滑动，点B随着线段AB在射线ox上滑动，（A、B与O不重合），Rt△AOB的内切⊙K分别与OA、OB、AB切于E、F、P．
（1）在上述变化过程中：Rt△AOB的周长，⊙K的半径，△AOB外接圆半径，这几个量中不会发生变化的是什么？并简要说明理由；
（2）当AE=4时，求⊙K的半径r；
（3）当Rt△AOB的面积为S，AE为x，试求：S与x之间的函数关系，并求出S最大时直角边OA的长．

Answer

（1）根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，AB的长不变，即△AOB的外接圆半径不变；
（2）设⊙K的半径为r，连EK、KF，则四边形EOFK是正方形，根据切线长定理，可求得r；
（3）设AO=b，OB=a，可得出r=，即2（b-x）+10=a+b，再由，则S=-x2+10x．再求得该函数的顶点坐标的横坐标．
【解析】
（1）不会发生变化的是△AOB的外接圆半径，
∵∠AOB=90°，
∴AB是△AOB的外接圆的直径
AB的长不变，即△AOB的外接圆半径不变

（2）设⊙K的半径为r，⊙K与Rt△AOB相切于E、F、P，连EK、KF
∴∠KEO=∠OFK=∠O=90°，
∴四边形EOFK是矩形，
又∵OE=OF
∴四边形EOFK是正方形，
∴OE=OF=r，AE=AP=4，
∴PB=BF=6，
∴（4+r）2+（6+r）2=100，
∴r=-12（不符合题意），r=2，

（3）设AO=b，OB=a，⊙K与Rt△AOB三边相切于E、F、P，
∴OE=r=，即2（b-x）+10=a+b，∴10-2x=a-b，
∴100-40x+4x2=a2+b2-2ab，
∵，
∴ab=2S，a2+b2=102
∴100-40x+4x2=100-4S，
∴S=-x2+10x，
另一解法：（x+r）2+（10-x+r）2=100，
∴r2+10r=-x2+10x
S=•r（OA+OB+AB）=r（r+x+10-x+r+10）=r（20+2r）=r2+10r
∴S=r2+10r=-x2+10x，
又∵S=-x2+10x=-（x-5）2+25
∵当x=5时，S最大，即AE=BF=5，
∴OA=．