Question

试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx²+（r+2）x+r-1=0有根且只有整数根．

Answer

由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当r≠0时，由根与系数关系得到关于r的两个等式，消去r，利用因式（数）分解先求出方程两整数根．
【解析】
（1）若r=0，x=，原方程无整数根；
（2）当r≠0时，x1+x2=-，x1x2=；
消去r得：4x1x2-2（x1+x2）+1=7，
即（2x1-1）（2x2-1）=7，
∵7=1×7=（-1）×（-7），
∴①，解得，
∴1×4=，解得r=-；
②，解得；
同理得：r=-，
③，解得，r=1，
④，解得，r=1．
∴使得关于x的方程rx2+（r+2）x+r-1=0有根且只有整数根的r值是-或1．