关于x的方程kx2-（k-1）x+1=0有有理根，求整数k的值．

关于x的方程kx²-（k-1）x+1=0有有理根，求整数k的值．

先要讨论k的取值确定方程，（1）k=0，方程为一元一次方程，显然有有理根；（2）k≠0，方程为一元二次方程，要有理根，则△=（k-1）2-4k=k2-6k+1必为完全平方数，可设k2-6k+1=m2（m非负整数），变形为：（k-3+m）（k-3-m）=8，然后利用m，k都为整数，运用整数的性质，转化为两个二元一次方程组求解即可．【解析】（1）当k=0时，x=-1，方程有有理根．（2）当k≠0时，因为方程有有理根，所以若k为整数，则△=（k-1）2-4k=k2-6k+1必为完全平方数，即存在非负整数m，使k2-6k+1=m2．配方得：（k-3+m）（k-3-m）=8，由k-3+m和k-3-m是奇偶相同的整数，其积为8，所以它们均是偶数．又k-3+m≥k-3-m．从而或解得k=6或k=0（舍去），综合（1）（2），所以方程kx2-（k-1）x+1=0有有理根，整数k的值为0或6．

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考点分析：

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已知：如图，抛物线c₁经过A，B，C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E．
（1）求抛物线c₁解析式；
（2）求四边形ABDE的面积；
（3）△AOB与△BDE是否相似，如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由；
（4）设抛物线c₁的对称轴与x轴交于点F，另一条抛物线c₂经过点E（抛物线c₂与抛物线c₁不重合），且顶点为M（a，b），对称轴与x轴相交于点G，且以M，G，E为顶点的三角形与以D，E，F为顶点的三角形全等，求a，b的值．（只需写出结果，不必写出解答过程）

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已知关于x的方程x²-（k+2）x+2k=0．
（1）求证：无论k取任意实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰三角形ABC的一边a=1，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

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（1）如果⊙O₁与⊙O₂的圆心距d=4，求r的值；
（2）如果⊙O₁与⊙O₂的公切线中有两条互相垂直，并且r≤R，求r的值．

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已知一个三角形纸片ABC，面积为25，BC的长为10，∠B、∠C都为锐角，M为AB边上的一动点（M与A、B不重合），过点M作MN∥BC交AC于点N，设MN=x．
（1）用x表示△AMN的面积；
（2）△AMN沿MN折叠，使△AMN紧贴四边形BCNM（边AM、AN落在四边形BCNM所在的平面内），设点A落在平面BCNM内的点A′，△A′MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y．
①用含x的代数式表示y，并写出x的取值范围．
②当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多少？

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试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx²+（r+2）x+r-1=0有根且只有整数根．

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试题属性

题型：解答题
难度：中等