Question

已知：方程x²-2（k-1）x+2k²-12k+17=0，两根为x₁、x₂，求x₁²+x₂²的最大值与最小值，并求此时方程的根．

Answer

先根据判别式△≥0求出k的取值范围，再根据根与系数的关系求解即可．
【解析】
方程x2-2（k-1）x+2k2-12k+17=0，两根为x1、x2，
∴x1+x2=2（k-1），x1x2=2k2-12k+17，
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2
=4（k2-2k+1）-2（2k2-12k+17）
=-8k+4+24k-34
=16k-30，
∵△=4（k2-2k+1）-4（2k2-12k+17）
=-4k2+40k-64≥0，
解得：2≤k≤8，
∴当k=8时，最大值为98，方程为x2-14x+49=0，两根为7；
当k=2时，最小值为2，方程为x2-2x+1=0，两根为1．