Question

已知，如图，在正方形ABCD中，O是对角线的交点，AF平分∠BAC，DH⊥AF于点H，交AC于点G，DH延长线交AB于点E
求证：．

Answer

过B作BM∥AC交DE的延长线于M，由AF平分∠BAC，DH⊥AF证△AEH和△AGH全等，推出∠AEH和∠AGH相等，进一步推出∠BEM和∠M相等，得到BM=BE，根据三角形的中位线得到OG=BM，即可得到答案．
证明：过B作BM∥AC交DE的延长线于M，
∵AF平分∠BAC，DH⊥AF，
∴∠EAH=∠GAH，∠AHE=∠AHG=90°，
∵AH=AH，
∴△AEH≌△AGH，
∴∠AEH=∠AGH，
∵BM∥AC，
∴∠M=∠AGH，
∵∠AEH=∠BEM，
∴∠BEM=∠M，
∴BM=BE，
∵正方形ABCD，
∴OB=OD，
∵BM∥AC，
∴DG=MG，
∴OG=BM=BE，
即：OG=BE．