Question

某环形道路上顺时针排列着4所中学：A₁，A₂，A₃，A₄，它们顺次有彩电15台，8台，5台，12台．为使各校的彩电数相同，允许一些中学向相邻中学调出彩电．问怎样调配才能使调出的彩电台数最小？并求调出彩电的最小总台数．

Answer

首先设A1中学调给A2彩电x1台（若x1＜0，则认为是A2，向A1调出|x1|台），A2中学调给A3彩电x2台，A3调给A4x3台，A4调给A1x4台，则根据题意可得方程：15-x1+x4=10，8-x2+x1=10，5-x3+x2=10，12-x4+x3=10，即可求得关于x1，x2，x3，x4的函数，由题意可知此题求解的内容是y=|x1|+|x2|+|x3|+|x4|的最小值，分析求解即可．
【解析】
设A1中学调给A2彩电x1台（若x1＜0，则认为是A2，向A1调出|x1|台），A2中学调给A3彩电x2台，A3调给A4x3台，A4调给A1x4台．
∵共有40台彩电，平均每校10台，
∴15-x1+x4=10，8-x2+x1=10，5-x3+x2=10，12-x4+x3=10，
∴x4=x1-5，x1=x2+2，x2=x3+5，x3=x4-2，x3=（x1-5）-2=x1-7，x2=（x1-7）+5=x1-2．
本题即求y=|x1|+|x2|+|x3|+|x4|=|x1|+|x1-2|+|x1-7|+|x1-5|的最小值，其中x1是满足-8≤x1≤15的整数．
设x1=x，并考虑定义在-8≤x≤15上的函数：y=|x|+|x-2|+|x-7|+|x-5|，
当2≤x≤5时，y取最小值10，
即当x1=2，3，4，5时，|x1|+|x1-2|+|x1-7|+|x1-5|取到最小值10．
从而调出彩电的最小台数为10，调配方案有如下4种：