Question

已知二次三项式ax²+bx+c（a＞0）
（1）当c＜0时，求函数y=-2|ax²+bx+c|-1的最大值；
（2）若无论k为何实数，直线与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个公共点，求a+b+c的值．

Answer

（1）利用二次函数图象的性质推出函数y'=ax2+bx+的最小值小于零，再根据任何数的绝对值都为非负数解决此题；
（2）直线与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个公共点，也就是说方程k（x-1）-=ax2+bx+c只有一个解，即△=0．
【解析】
（1）由a＞0，c＜0知y'=ax2+bx+c与x轴必有交点，
y'min＜0，
故y=-2|ax2+bx+c|-1的最大值为-1；
（2）联立方程组，
∴ax2+bx+c=k（x-1）-k2，
整理得，ax2+（b-k）x+c+k+k2=0，
∵无论k为何实数，直线与抛物线都只有一个交点，
∴△=（b-k）2-4a（c+k+k2）=（1-a）k2-2k（2a+b）+b2-4ac=0，
可得1-a=0，2a+b=0，b2-4ac=0，
解得a=1，b=-2，c=1，
故a+b+c=0．