Question

在△ABC中，∠ACB=90°，CB=a，CA=b，AB=c点P是BC上异于B、C的任一点，过P作AB的垂线与边AB及AC的延长线分别交于R、Q．
（1）设PC=x，△PQC、△PBR的面积分别为S₁、S₂，试用x、a、b、c表示S₁+S₂；
（2）当点P在BC上移动时，问x取何值时，有S₁+S₂最小值？并求出这个最小值．

Answer

（1）由题中条件可得Rt△BPR∽△BAC，Rt△QPC∽Rt△BAC由对应线段成比例可得线段BR、PR、QC的值，进而可求其面积；
（2）若使其面积之和最小，则只需（a-x）2=0，即x=a即可．
【解析】
（1）由题中条件可得Rt△BPR∽△BAC，∴==，即==，BR=，PR=，
同理Rt△QPC∽Rt△BAC，∴=，即=，QC=，
∴S1+S2=PC•QC+BR•PR=（x•+）

（2）S1+S2=PC•QC+BR•PR=（x•+）=，
若使S1+S2取最小值，则有（a-x）2=0，即x=a，即点P运动到点B时，其值最小，
S1+S2==．