Question

设x₁、x₂、x₃、x₄、x₅均为正整数，且x₁+x₂+x₃+x₄+x₅≤x₁x₂x₃x₄x₅．试求x₅的最大值．

Answer

设x1≤x2≤x3≤x4≤x5，利用“换元”思想，令S=x1+x2+x3+x4+x5≤x1x2x3x4x5．则S≤5x5，即t=x1x2x3x4≤5；那么t为1或2或3或4或5，而a，b，c，d则为t的约数．然后分类解答：①当t=5时，求得x5的值；②当t=4或1时，求得x5的值；③
当t=2时，求得x5的值．
【解析】
由于x1、x2、x3、x4、x5在式中对称，故不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5，
并令S=x1+x2+x3+x4+x5≤x1x2x3x4x5．则S≤5x5，即t=x1x2x3x4≤5；
那么t为1或2或3或4或5，而a，b，c，d则为t的约数．
①当t=5时，由于t=1×5，故令x1=x2=x3=1，x4=5，代入S可得x5=2，与x4≤x5相矛盾，故x5=2不合题意；
②同理，当t=1或4时均不合题意．当t=3时，x5=3，符合题意；
③当t=2时，由于t=1×2，令x1=x2=x3=1，x4=2，代入S可得x5=5，符合题意；
综上所述，故x5的最大值为5．