Question

已知A，A是抛物线y=x²上两点，A₁B₁，A₃B₃分别垂直于x轴，垂足分别为B₁，B₃，点C是线段A₁A₃的中点，过点C作CB₂垂直于x轴，垂足为B₂，CB₂交抛物线于点A₂．

（1）如图1，已知A₁，A₃两点的横坐标依次为1，3，求线段CA₂的长；
（2）如图2，若将抛物线y=x²改为抛物线y=x²-x+1，且A₁，A₂，A₃三点的横坐标为连续的整数，其他条件不变，求线段CA₂的长；
（3）若将抛物线y=x²改为抛物线y=ax²+bx+c（a＞0），A₁，A₂，A₃三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，试猜想线段CA₂的长（用a，b，c表示，并直接写出答案）．

Answer

（1）本题都要先根据B1，B2，B3的横坐标来确定B2的横坐标（DB2是梯形A1B1B3A3的中位线，B2是B1B3的中点），
（2）根据B1，B2，B3的横坐标得出A1，A2，A3的纵坐标，进而可根据CA2=-A2B2，也就是A3A1纵坐标的差的绝对值的一半减去A2的纵坐标．由此可求出CA2的长．
【解析】
（1）∵A1，A3的横坐标依次为1，3，
∴A1B1=×12=，A3B3=×32=，
由已知可得A1B1∥CB2∥A3B3．
又∵C为A1A3的中点，
∴B2为B1B3的中点，
∴B2点的横坐标为2，
∴A2B2=×22=2，
而CB2=（A1B1+A3B3）
=（+）+
∴CA2=CB2-A2B2=-2
=．

（2）设A1，A2，A3三点的横坐标依次为n-1，n，n+1，
则A1B1=（n-1）2-（n-1）+1，A2B2=n2-n+1，
A3B3=（n+1）2-（n+1）+1，
由已知可得A1B1∥A3B3∥AB2，
∴CB2=（A1B1+A3B3）
=[（n-1）2-（n-1）+1+（n+1）2-（n+1）+1]
=n2-n+，
∴CA2=CB2-A2B2=n2-n+-（n2-n+1）=．

（3）当a＞0时，CA2=a．