Question

若m、n都是正实数，方程x²+mx+2n=0和方程x²+2nx+m=0都有实数根，则m+n的最小值是（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10

Answer

由方程x2+mx+2n=0和方程x2+2nx+m=0都有实数根，则有m2-8n≥0，即m2≥8n；4n2-4m≥0，即n2≥m．通过不等式变形得：m4≥64n2≥64m，得m最小值是4；则n2≥m，得n≥2即n的最小值为2，由此得到m+n的最小值．
【解析】
∵方程都有实根，
∴，
∴m2≥8n，n2≥m．
∵m、n都是正实数，
因此有m4≥64n2≥64m，
∴m（m3-64）≥0，因m＞0，则m3≥64，m≥4，所以m最小值是4；
又n2≥m，n2≥4得n≥2，即n的最小值为2，
故m+n的最小值为6．
故选B．