Question

已知一次函数y₁=ax+b的图象与反比例函数y₂=的图象相交于A、B两点，坐标分别为（-2，4）、（4，-2）．
（1）求两个函数的解析式；
（2）结合图象写出y₁＜y₂时，x的取值范围；
（3）求△AOB的面积；
（4）是否存在一点P，使以点A﹑B﹑O﹑P为顶点的四边形为菱形？若存在，求出顶点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）直接利用待定系数法可分别求得两个函数的解析式；
（2）利用（1）中的解析式联立方程组，即可求得交点坐标，结合图形可写出x的取值范围；
（3）把△AOB的面积分为两部分，即S△AOB=S△AOC+S△BOC；
（4）利用菱形的性质，根据线段的中点横坐标是两个端点横坐标的和的一半，纵坐标也是两个端点纵坐标和的一半，即可求解．
【解析】
（1）分别把点A（-2，4），点B（4，-2）代入解析式中，得
k=-8，即双曲线解析式为y=-

解得
∴直线解析式为y=-x+2；

（2）当-x+2=-时，
整理，得
x2-2x-8=0
解得x1=-2，x2=4
即点A（-2，4），点B（4，-2）
当y1＜y2时，-2＜x＜0或x＞4．

（3）当x=0时，y=-x+2=2，即
OC=2
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=22+24=6．

（4）存在．
若四边形OAPB是菱形，则AB，OP互相垂直平分，即点M既是AB的中点，又是OP的中点．
∵点A是（-2，4），点B是（4，-2）
∴点M的坐标是（1，1）
∴点P的坐标是（2，2）．