如图,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=5,OC=3.
(1)在AB边上取一点D,将纸片沿OD翻折,使点A落在BC边上的点E处,求点D,E的坐标;
(2)若过点D,E的抛物线与x轴相交于点F(-5,0),求抛物线的解析式和对称轴方程;
(3)若(2)中的抛物线与y轴交于点H,在抛物线上是否存在点P,使△PFH的内心在坐标轴上?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
(4)若(2)中的抛物线与y轴相交于点H,点Q在线段OD上移动,作直线HQ,当点Q移动到什么位置时,O,D两点到直线HQ的距离之和最大?请直接写出此时点Q的坐标及直线HQ的解析式.
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