Question

设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x²-6x+a=0的两根，当这样的三角形只有一个时，求a的取值范围．

Answer

由于方程x2-6x+a=0有两个实数根，所以△≥0，当△=0时可直接求出a的值，此时三角形是等边三角形；
当△＞0时可设两根为x1，x2（x1＜x2），由三角形的三边关系先判断出不存在一个等腰三角形底边为x2，腰为x1，再根据根与系数的关系即可判断出a的取值范围．
【解析】
∵方程x2-6x+a=0有实数根，
∴△=36-4a≥0，
（1）当△=0时，即△=36-4a=0，解得a=9，此时三角形为等边三角形；
（2）当△＞0，即△=36-4a＞0时，解得a＜9，
设两根为x1，x2（x1＜x2）此时存在一个等腰三角形底边为x1，腰为x2，此时不存在一个等腰三角形底边为x2，腰为x1即最短两边（即两腰）之和不大于最大边（即底边）即2x1≤x2，
由根与系数的关系可得，3x1≤x1+x2=6，
∴x1≤2，
∵x1+x2=6，x1•x2=a，
∴a=x1•（6-x1），
=6x1-（x1）2
=-（3-x1）2+9
∴=-（3-x1）2+9≤8，
∴当0＜a≤8，a=9时，三角形只有一个．