Question

如图，点D在△ABC的边BC上，且与B，C不重合，过点D作AC的平行线DE交AB于E，作AB的平行线DF交AC于点F．又知BC=5．
（1）设△ABC的面积为S．若四边形AEFD的面积为；求BD长．
（2）若；且DF经过△ABC的重心G，求E，F两点的距离．

Answer

（1）由题中条件可得△BDE∽△BCA∽△DCF，由相似三角形可得其面积比与对应边长的比的关系，进而再由题中的已知条件，求解其长度即可；
（2）由平行线可得对应线段的比，通过线段之间的转化以及角的相等，可得△DEF∽△ABC，由其对应边成比例可得线段EF的长．
【解析】
如图，

（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴△BDE∽△BCA∽△DCF，
记S△BDE=S1，S△DCF=S2，
∵SAEFD=S，
∴S1+S2=S-S=S．①
=，=，
于是+==1，即+=，
两边平方得S=S1+S2+2，
故2=SAEFD=S，即S1S2=S2．②
由①、②解得S1=S，即=．
而=，即=，解得BD===．

（2）由G是△ABC的重心，DF过点G，且DF∥AB，可得=，则DF=AB．
由DE∥AC，=，得DE=AC，
∵AC=AB，∴=，==，
得=，即=，
又∠EDF=∠A，故△DEF∽△ABC，
得=，所以EF=．