Question

小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创造的同学．一天，他在解方程时，突然产生了这样的想法，x²+1=0这个方程虽然在实数范围内无解，但是，假如存在这样一个数i，使i²=-1，那么方程x²+1=0可以变为x²=i²，则x=±i是方程x²+1=0两个根．小明还发现i具有如下性质：
i¹=i；i²=-1；i³=i²×I=（-1）×i=-i；i⁴=（i²）²=（-1）²=1；i⁵=i⁴×i=i；i⁶=（i²）³=（-1）³=-1；i⁷=i⁶×i=-i；i⁸=（i⁴）²=1…，请你观察上述各式，根据你发现的规律填空：i⁴ⁿ⁺¹=    ，i⁴ⁿ⁺²=    ，i⁴ⁿ⁺³=    （n为自然数）．

Answer

本题是一道规律题，根据题目中所给的条件寻找规律，发现每4个一循环，这样就能得到i4n+1，i4n+2，i4n+3的值．
【解析】
因为i具有下列性质：
i1=i，i2=-1，i3=i2×i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1；
i5=i4•i=1×i=i，i6=i4•i2=1×（-1）=-1，i7=i4•i3=1×（-i）=-i，i8=i4•i4=1×1=1，…
根据以上性质，发现每4个一循环，
所以i4n+1=（i4）n•i=1n•i=1×i=i，
i4n+2=（i4）n•i2=1n•（-1）=-1，
i4n+3=（i4）n•i3=1n•（-i）=-i．
故本题的答案分别是i，-1，-i．