Question

对a＞b＞c＞0，作二次方程x²-（a+b+c）x+ab+bc+ca=0．
（1）若方程有实根，求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长；
（2）若方程有实根x，求证：a＞x＞b+c；
（3）当方程有实根6，9时，求正整数a，b，c．

Answer

（1）若一元二次方程有实根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立a、b、c的关系，则能证明．
（2）设f（x）=x2-（a+b+c）x+ab+bc+ca，由二次函数性质可证．
（3）由根与系数关系可得a、b、c的关系，进而解得a、b、c的值．
【解析】
（1）由方程有实根得，△=（a+b+c）2-4（ab+bc+ca）≥0
即0≤a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca=a（a-b-c）-b（a+c-b）-c（a+b-c）＜a（a-b-c），由a＞0，得a-b-c＞0，
即a＞b+c．所以，a，b，c不能成为一个三角形的三边．（4分）

（2）设f（x）=x2-（a+b+c）x+ab+bc+ca，则f（b+c）=bc＞0，f（a）=bc＞0，
且f（）=＜0由（1）知b+c＜＜a，
所以二次方程的实根x都在b+c与a之间，即a＞x＞b+c．（7分）

（3）由根与系数关系有a+b+c=15，ab+bc+ca=54，
得a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ca）=225-108=117＜112．由（2）知a＞9，
故得92＜a2＜112，∴a=10．∴b+c=5，bc=4，由b＞c，解得b=4，c=1，
∴a=10，b=4，c=1．（10分）