Question

已知二次函数y=x²+qx+p的图象与x轴交于不同的两点A、B，顶点为C，且△ABC的面积S≤1．
（1）求q²-4p的取值范围；
（2）若p，q分别为一个两位数的十位与个位数字，求出所有这样的两位数．

Answer

（1）△ABC的面积=AB×点C的纵坐标的绝对值÷2，代入即可求得所求的范围；
（2）根据（1）的范围找到相应的整数值即可．
（1）设A（x1，0），B（x2，0）（x1≠x2），则x1，x2是方程x2+qx+p=0的两个不同的实根．
有x1+x2=-q，x1x2=p，q2-4p＞0，
∵点C的纵坐标yC=
∴S=|x1-x2|•|yC|=•||≤1，
即（q2-4p）3≤64，
q2-4p≤4，
∴0＜q2-4p≤4；

（2）由（1）知，q2-4p=1，2，3，4．
∵q2被4除余数为0或1，
∴q2-4p被4除余数也为0或1．
从而q2-4p=1，4．这两个方程中符合题意的整数解有．故所求两位数为23，65，34，86．